Teoría de Sturm-Liouville. Polinomios ortogonales clásicos

Abstract

En el trabajo se estudia la teoría de Sturm-Liouville y los polinomios ortogonales clásicos, que aparecen como soluciones específicas para ciertas condiciones de contorno. En primer lugar, se han estudiado los ceros de las soluciones y sus propiedades de ortogonalidad. Se han definido las condiciones necesarias para el operador diferencial autoadjunto y, centrándose en el problema regular de Sturm-Liouville, se ha estudiado la existencia de autovalores y sus autofunciones, que forman un conjunto completo en L2 . Para finalizar, se ha introducido el problema de Sturm-Liouville singular. En segundo lugar, se han estudiado características generales de los polinomios ortogonales y posteriormente se han concretado para los polinomios de Jacobi y sus especificaciones, los polinomios de Legendre, Chebyshev de primera y segunda especie y Gegenbauer. Tras esto se ha analizado cómo cambia la distribución de ceros según la función peso utilizada.The paper studies Sturm-Liouville's theory and classical orthogonal polynomials, which appear as specific solutions for certain boundary conditions. First, the zeros of the solutions and their orthogonality properties have been studied. The necessary conditions for self-adjoint differential operators have been defined and, focusing on the regular Sturm-Liouville problem, the existence of eigenvalues and their eigenfunctions, which form a complete set in L2, have been studied. Finally, the singular Sturm-Liouville problem has been introduced. Next, general characteristics of orthogonal polynomials have been studied and subsequently specified for Jacobi polynomials and their specifications, Legendre polynomials, Chebyshev first and second species and Gegenbauer. After this, it has been analyzed how the distribution of zeros changes according to the weight function used.