Superficies de revolución en S3 con curvatura prescrita

Abstract

El presente Trabajo Fin de Máster se sitúa en el contexto de la Geometría Diferencial. Tras un repaso de la Teoría Local de Superficies en la 3-esfera estándar, se estudian las superficies de revolución con curvatura media o gaussiana prescrita. El papel crucial en nuestro estudio lo juega una función asociada a la curva generatriz, que llamamos momento angular esférico. Analíticamente, es una función primitiva de la curvatura de la curva esférica cuando ésta se expresa en función de la distancia a una geodésica fija. Su importancia radica en que determina unívocamente la curva esférica y, por añadidura, la superficie de revolución salvo traslaciones en la 3-esfera a lo largo de dicha geodésica. Tras conseguir expresar las curvaturas principales en términos del momento angular esférico, se consiguen resultados de clasificación originales acerca de superficies de revolución en con curvatura de Gauss y curvatura media prescritas.

This Master's thesis is located within the context of Differential Geometry. After a review of the Local Theory of Surfaces in the standard 3-sphere, the surfaces of revolution with prescribed mean or Gaussian curvature will be studied. The crucial role in our study is played by a function associated with the generatrix curve, which we call the spherical angular momentum. Analytically, it is a primitive function of the curvature of the spherical curve when it is expressed as a function of the distance to a fixed geodesic. Its importance lies in the fact that it uniquely determines the spherical curve and, as a consequence, the surface of revolution up to translations on the 3-sphere along this geodesic. After having succeeded in expressing the principal curvatures in terms of the spherical angular momentum, original classification results about surfaces of revolution in with prescribed Gaussian curvature and mean curvature are obtained.