Superficies helicoidales con curvatura prescrita

Abstract

Este trabajo se sitúa dentro del contexto de la Geometría Diferencial Clásica. Tras un repaso de la Teoría Local de Curvas y Superficies, se estudian las superficies helicoidales. En dichas superficies estudiaremos su curvatura media y su curvatura de Gauss. El papel crucial en nuestro estudio lo juega una función asociada a la curva perfil, que llamamos momento lineal geométrico por su interpretación física. Analíticamente, es una función primitiva de la curvatura de la curva cuando ésta se expresa dependiendo de la distancia al eje helicoidal. Su bondad radica en que determina unívocamente a la curva y, por añadidura, a la superficie helicoidal salvo traslaciones a lo largo del eje helicoidal. Tras conseguir expresar la curvatura media y la curvatura de Gauss en términos del momento lineal geométrico, se consiguen nuevas demostraciones de resultados clásicos y teoremas de clasificación originales acerca de superficies helicoidales con curvatura media y curvatura de Gauss prescritas. This work is located within the context of the Classical Differential Geometry. After a review of the Local Theory of Curves and Surfaces, the helicoidal surfaces will be studied. In this surfaces we will be studied their mean curvature and their Gaussian curvature. The crucial role in our study is played by a function associated with the profile curve, which we call geometric linear momentum because of its physical interpretation. Analytically, it is a primitive function of the curvature of the curve when it is expressed depending on the distance to the helicoidal axis. Its goodness lies in the fact that it determines uniquely the curve and, as a consequence, the helicoidal surface up to translations along the helicoidal axis. After expressing the mean curvature and the Gaissian curvature in terms of the geometric linear momentum, new proofs of classical results and original classification theorems about prescribed helicoidal surfaces with prescribed Gaussian curvature and mean curvature are obtained.