Superficies de revolución de tipo Weingarten

Abstract

Este trabajo se sitúa dentro del contexto de la Geometría Diferencial Clásica. Tras un repaso de la Teoría Local de Curvas y Superficies, se estudian las superficies de revolución cuyas curvaturas principales guardan una relación funcional. Esta condición se denomina de tipo Weingarten en la literatura especializada. El papel crucial en nuestro estudio lo juega una función asociada a la curva generatriz, que llamamos momento lineal geométrico por su interpretación física. Analíticamente, es una función primitiva de la curvatura de la curva cuando ésta se expresa dependiendo de la distancia al eje de revolución. Su bondad radica en que determina unívocamente a la curva y, por añadidura, a la superficie de revolución salvo traslaciones a lo largo del eje de revolución. Tras conseguir expresar las curvaturas principales en términos del momento lineal geométrico, se consiguen nuevas demostraciones de resultados clásicos y teoremas de clasificación originales acerca de superficies de revolución con curvatura de Gauss y curvatura media prescritas.

This work is located within the context of the Classical Differential Geometry. After a review of the Local Theory of Curves and Surfaces, the surfaces of revolution whose principal curvatures have a functional relationship will be studied. This condition is called of Weingarten type in the specialized literature. The crucial role in our study is played by a function associated with the generatrix curve, which we call geometric linear momentum because of its physical interpretation. Analytically, it is a primitive function of the curvature of the curve when this is expressed depending on the distance to the axis of revolution. Its goodness lies in the fact that it determines uniquely the curve and, as a consequence, the surface of revolution up to translations along the axis of revolution. After expressing the principal curvatures in terms of the geometric linear momentum, new proofs of classical results and original classification theorems about revolution surfaces with prescribed Gaussian curvature and mean curvature are obtained.