Métodos matemáticos de las telecomunicaciones: apuntes y ejercicios

Abstract

Estos apuntes, titulados "Métodos Matemáticos de las Telecomunicaciones", han sido elaborados por Diego García Zamora para la Universidad de Jaén y están destinados a la asignatura del mismo nombre en los grados de Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación e Ingeniería Telemática durante el curso 2024/2025. El documento recopila contenidos teóricos y ejercicios prácticos que abordan temas avanzados de matemáticas esenciales para la formación en telecomunicaciones. El material está estructurado en tres partes principales: Análisis Vectorial, Variable Compleja y Ecuaciones Diferenciales.

En la Parte I: Análisis Vectorial, se exploran conceptos fundamentales del espacio euclídeo, como el producto escalar, la norma euclídea y la distancia entre vectores. Se estudian propiedades geométricas y teoremas clave, como la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular. Además, se introducen los campos escalares y vectoriales, junto con herramientas matemáticas como el gradiente, la divergencia y el rotacional, que permiten analizar fenómenos físicos representados mediante estas estructuras. La integral de línea se aborda en detalle, tanto para campos escalares como vectoriales, con aplicaciones en física, como el cálculo de trabajo y flujo. Finalmente, se desarrollan las integrales de superficie y teoremas fundamentales como los de Stokes y la divergencia, que conectan integrales de línea y superficie.

La Parte II: Variable Compleja se centra en el estudio de los números complejos, sus propiedades algebraicas y geométricas, incluyendo su representación en el plano, operaciones fundamentales y la forma polar. Se analizan funciones de variable compleja, como la función exponencial, los logaritmos complejos y las potencias complejas. También se introduce la derivabilidad en sentido complejo, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las propiedades de las funciones holomorfas. Las transformaciones de Möbius y las aplicaciones conformes se estudian en detalle, junto con la integración de funciones de variable compleja y el teorema de Cauchy. Finalmente, se aplica el teorema de los residuos para calcular integrales reales y sumar series, lo que resulta especialmente útil en el análisis de sistemas físicos y señales periódicas.

En la Parte III: Ecuaciones Diferenciales, se abordan las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), comenzando con métodos de resolución de EDOs de primer orden, como ecuaciones de variables separadas, exactas, lineales y de Bernoulli. También se estudian las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Se introduce la conversión de una EDO de orden n en un sistema de n ecuaciones, y se analizan las funciones analíticas de una matriz. Finalmente, se tratan las ecuaciones en derivadas parciales, como la ecuación de ondas y la ecuación del calor, que son fundamentales en el modelado de fenómenos físicos en telecomunicaciones.